Lab 08 - Testowanie hipotez cz. 2

Test chi-kwadrat

Test używany do weryfikacji hipotez dla zmiennych mających rozkład chi-kwadrat np. niezależnych zmiennych nominalnych (rzutów kostką).

W teście tym oraz rozkładzie istotną rolę odgrywa pojęcie stopni swobody df. Dla zmiennych nominalnych liczba stopni swobody wynosi M-1 gdzie M jest liczbą niezależnych zmiennych (np. dla rzutów monetą df=1, dla rzutów kostką df=5). Wynika to z faktu, że dla losowania M zmiennych, jeśli wiadomo, że nie wylosowano M-1 możliwych wartości to wartość wylosowana jest znana (zależna).

Dla zmiennej zliczanej (gdzie określa się liczbę wystąpień poszczególnych wartości zmiennej nominalnej) statystyka testowa ma postać:

Gdzie O_i jest zaobserwowaną częstością/liczbą wystąpień natomiast E_i jest oczekiwaną częstością/liczbą wystąpień pochodzącą z rozkładu teoretycznego lub z innego rozkładu empirycznego względem którego chcemy przeprowadzić test. Graniczną wartość statystyki dla danego poziomu ufności (ɑ) możemy odczytać z tablic.

Załóżmy, że badacz na grupie N=60 sprawdzał 3 napoje (A, B, C) napój A smakował 20 osobom, napój B 25 osobom a napój C 15 osobom. Badacz założył, że jeśli napoje nie różniły się preferencjami to powinien uzyskać podobne wyniki we wszystkich grupach (po 20 osób). Statystykę rozkładu chi kwadrat (chi2), oraz prawdopodobieństwo testowe (p) danej liczby obserwacji możemy wyznaczyć również używając funkcji:

from scipy.stats import chisquare


obs = np.array([20, 25, 15])  # wartość obserwowana
exp = np.array([1/3, 1/3, 1/3]) * np.sum(obs)  # oczekiwana liczba wystąpień (suma musi być taka jak dla obs!!!)
chi2, p = chisquare(obs, exp)

Spróbuj wyznaczyć wartość rozkładu chi kwadrat ręcznie (korzystając z wzoru), a następnie zweryfikować z wynikiem funkcji oraz określić graniczną wartość statystyki dla poziomu istotności ɑ=0.05, Jeśli p<ɑ, jest podstawa do odrzucenia hipotezy H₀ o braku istotnej różnicy między preferencjami.

Test chi kwadrat można również wykorzystać do badania niezależności zmiennych. Załóżmy, że mamy tablicę opisującą relację między kolorem włosów a kolorem oczu:

eyes_vs_hair = [[438, 228, 115, 16], [1387, 746, 946, 53], [807, 189, 1768, 47]]

Jeśli kolor oczu jest niezależny od koloru włosów, to oczekiwana liczba wystąpień Eij (dla i-tego koloru włosów i j-tego koloru oczu jest opisana wyrażeniem:

gdzie S_i, S_j są sumami i-tej kolumny i j-tego wiersza, a S_total liczbą wszystkich elementów. Wyznacz wszystkie wartości oczekiwanej liczby wystąpień dla założenia o niezależności obu zmiennych, a następnie oblicz test chi kwadrat z tabeli, liczba stopni swobody jest iloczynem stopni swobody dla każdej zmiennej (w kolumnach i w wierszach) i wynosi df = 6 a nie 11. Możesz to zrealizować używając funkcji chi2_contingency, gdzie tabela będzie zawierać 3 wiersze odpowiadające kolorom oczu. Sprawdź ile wynosi prawdopodobieństwo testowe oraz liczba stopni swobody?

Test Anova 1-parametryczny

Test Anova umożliwia sprawdzenie czy istnieje istotna różnica między 2 lub więcej rozkładami statystyki, gdzie zakłada się, że rozkłady są niezależne, normalne i mają zbliżoną wariancję. W testach A/B możliwe było porównanie wyłącznie 2 niezależnych rozkładów.

Załóżmy, że mamy dane o dziennym spożyciu wapnia (w mg/dzień) u grupy kontrolnej oraz u osób wykazujących niską gęstość kości (osteopenia) i osób cierpiących na osteoporozę. Chcemy sprawdzić czy istnieje istotna statystycznie różnica między suplementacją wapnia u osób z normalną gęstością kości, grupą o cechach osteopenii i osób cierpiących na osteoporozę. Zakładamy, że dane zostały pozyskane z danych szpitala dla losowych osób.

data = [[1200, 100, 890], [1000, 1100, 650], [980, 700, 110], [900, 800, 900],
        [750, 500, 400], [800, 700, 350], [850, 750, 450], [500, 850, 500]]

Procedura Anova: 1. Sprawdź hipotezę o normalności rozkładów, oraz sprawdź czy wariancje są zbliżone. do testowania normalności rozkładu możesz wykorzystać funkcję normaltest. Prawdopodobieństwo testowe p>ɑ nie daje podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkład jest normalny.

2. Dla serii danych wykonaj test one-way Anova, sprawdzając hipotezę H₀, że nie ma istotnych różnic:

from scipy.stats import f_oneway


f_value, p_value = f_oneway(data1, data2, data3)
print(f'F-stat: {f_value}, p-val: {p_value}')

3. Jeśli prawdopodobieństwo testowe (p_value) pozwala odrzucić hipotezę zerową, przeprowadź test post-hoc Tukey’a umożliwiający określenie pomiędzy którymi parami różnice są istotne.

from statsmodels.stats.multicomp import pairwise_tukeyhsd


print(pairwise_tukeyhsd(np.concatenate([data1, data2, data3]), np.concatenate([['data1']*len(data1), ['data2']*len(data2), ['data3']*len(data3)])))

4. Zinterpretuj wyniki, i wskaż między którymi z par różnica jest istotna.

5. Określ moc testu dla par, dla których zaobserwowano istotną różnicę.

Zadanie

1. Wczytaj dane zawierające wyniki wyborów prezydenckich w Rosji z 2020r.

2. Wyznacz frekwencję w poszczególnych okręgach oraz procentową liczbę głosów za:

df['frekwencja'] = df['given']/np.maximum(1, df['nominal'])
df['glosow_za'] = df['yes']/np.maximum(1, df['given'])

3. Stosując analizę ANOVA wskaż regiony dla których wynik wyborczy nie różni się istotnie od wyniku uzyskanego w Moskwie. Nazwy pisane cyrylicą możesz przekodować stosując moduł transliterate

4. Przeanalizuj wyniki częstość głosów za, analizując częstotliwość występowania cyfr na drugim miejscu po przecinku. O ile wartość pierwszego miejsca zależy od preferencji wyborczych, można spodziewać się że prawdopodobieństwo występowania cyfr na drugim miejscu będzie równomierne. Zweryfikuj hipotezę, że obserwowana częstość występowania cyfr jest zgodna z rozkładem równomiernym.

Autorzy: Piotr Kaczmarek i Jakub Tomczyński